Martingalas, 'delta hedging' y eliminación de la prima de riesgo

La fórmula Black-Scholes y la "vacuna financiera".

El Cronista
Germán Fermo

Esta columna de lunes fue especialmente inspirada en clases de teoría de opciones que dicté a mis alumnos de la Maestría en Finanzas en la Universidad de San Andrés. Una martingala es un proceso aleatorio "sin prima de riesgo", lo cual es esencial a los efectos de comprender la esencia en "option pricing". Existe una sublime relación "oculta" y "sumamente contraintuitiva" entre "martingalas", "delta hedging", "portfolio sintético", "bono libre de riesgo" y "agotamiento de arbitraje".

El "delta hedge" presente en la derivación de la fórmula de Black-Scholes "anula" el riesgo del "équity subyacente" y es precisamente "esta anulación" la que permite equiparar la valuación de un call por "agotamiento de arbitraje y replicación sintética" con la esperanza matemática resultante de la "martingala implícita" la cual corresponde a un proceso aleatorio "sin prima de incertidumbre".

Por lo tanto, a los efectos de valuar un call, el "delta hedge" presente en la derivación de Black-Scholes, genera una realidad "distorsionada", la distorsión precisamente la produce el "delta hedge". Todo hedge tiene la implicancia de afectar la realidad, por eso en la jerga habitual de mercado se utiliza el sinónimo de "vacuna" para hacer referencia a estrategias de cobertura.

Si no queda claro por qué una estrategia de "hedging" altera la realidad, pensemos en algo que está muy de moda en este tiempo: el covid. No es lo mismo transitar esta vida de pandemia "con vacuna" o "sin vacuna". A nivel biológico, la "vacuna" es el "hedge" contra el virus y altera las vidas de aquellos que la tienen, los cuales enfrentan una incertidumbre muy distinta a quienes todavía no han sido inmunizados. De ahí surge "el mecanismo distorsionador" de la realidad implícita en un hedge y su relación directa con martingalas en el mundo financiero. De esta forma, la vacuna es al covid lo que el "delta hedge" es al sintético que se utiliza para valuar al call. Esta idea sumamente brillante y disruptiva le dio el Nobel a la fórmula al tiempo de que se hizo pública.

La martingala equivalente resultante del "delta hedge" es un proceso aleatorio que en promedio tiene anulada la incertidumbre, de ahí que devenga solamente la tasa libre de riesgo. Entonces, un precio de subyacente que enfrenta una incertidumbre definida por una martingala equivalente "crecerá a la tasa libre de riesgo" porque toda su prima de incertidumbre fue neutralizada precisamente con el "delta hedge" el cual define el paso clave para valuar un call y arbitrarlo contra el rendimiento de un bono libre de riesgo. Precisamente, frente a la verdadera distribución browniana, construir un sintético "long call y short delta subyacente", genera para el próximo instante de tiempo un portfolio que será "libre de riesgo" y que por lo tanto podrá arbitrar contra el rendimiento instantáneo de un Treasury.

Es precisamente en este paso, "neutralización del riesgo precio y arbitraje contra un portfolio libre de riesgo", en donde "nace la martingala implícita", un proceso aleatorio sin prima de incertidumbre que permite entonces valuar al call por "esperanza matemática distorsionada" y no por "replicación sintética y agotamiento de arbitraje", estos últimos, supuestos utilizados por Black-Scholes al derivar la fórmula. Enfrentar la "verdadera distribución browniana", generar el sintético y arbitrarlo contra la libre de riesgo es equivalente a generar "una martingala implícita" donde el call sencillamente se valúa por esperanza matemática frente a un proceso "distorsionado" sin prima de riesgo.

Esta es la razón por la cual en presencia de una martingala, la valuación de un call por esperanza matemática ignorando al sintético "da bien". De esta forma, la estrategia de "delta hedge" puede concebirse como la "vacuna distorsionadora" de la verdadera distribución browniana "cancelando precisamente la prima de riesgo del subyacente" y preparándolo para arbitrar contra un bono libre de riesgo, definiendo entonces la ecuación diferencial que resuelve la integral que lleva a la fórmula.

La "vacuna financiera" ha hecho todo el trabajo. Por lo tanto, la estrategia de "delta hedge" aplicada a la verdadera distribución de probabilidad (no martingala) "neutraliza el riesgo del équity vía cobertura" y por lo tanto, si se "construye implícitamente" un proceso aleatorio "sin prima de riesgo" (martingala), la valuación por sintético (distribución verdadera) o por esperanza matemática (distribución distorsionada) da lo mismo, lo cual suena bastante contraintuitivo hasta que se comprende la sublime y no obvia dualidad entre arbitraje y vacuna.

La única tasa que sobrevive en todo esto es la "tasa libre de riesgo" porque el call tiene una dinámica que "trasciende al riesgo del équity" (delta hedge) y se refiere al "devengamiento de la opción" (theta y gamma) o en criollo, la pérdida en el valor del call por paso del tiempo (theta) más convexidad/aceleración (gamma). Estos últimos dos efectos se identifican en la expansión de Taylor con la que Black-Scholes derivaron la fórmula y ganaron el Nobel. La teoría de derivados no admite simplificaciones y entonces, cualquier atajo en este rubro invalida la noción misma de opciones desarrollada por Black y Scholes en su paper Nobel. Recuerdo que la fórmula de Black Scholes para valuar opciones es una de las dieciocho fórmulas más famosas de la humanidad y por lejos, la más relevante en finanzas. No entender Black-Scholes y su relación con martingalas implícitas es perderse por lejos la frutilla más dulce de finanzas.

El Cronista
Lunes, Julio 5, 2021